לעשות סדר במתמטיקה
לאחרונה קראתי את ההוכחה של ארנולד שאין נוסחא לפתרון של פולינומים ממעלה 5. היא מעניינת ואני רוצה לספר עליה פה. הטיעון מתחיל בקשר בין מקדמים של פולינום לשורשים שלו וממשיך לניתוח שיטתי של איזה נוסחאות משיגות אילו קשרים. מקדמים ושורשים הרעיון הוא לשנות בהדרגה מקדמים של פולינומים ולראות מה יוצאים השורשים לאורך הדרך. יש אפליקציה … להמשך קריאה
פוסט לכבוד יום הקירוב של $\tau = 2 \pi$, ה-19/3, או "יום פאי למאחרים". ביום פאי האחרון קראתי איך מחשבים ייצוג עשרוני וייצוג שבר משולב של קבועים מתמטיים. אם מדובר במספרים רציונליים אז חילוק ארוך מאפשר למצוא את הספרות שלהם. אבל אם הם לא רציונליים צריך למצוא נוסחא שתאפשר לחשב אותם באופן אפקטיבי. זה בדרך … להמשך קריאה
ריצוף של המישור הוא תחום פעיל בהנדסה, באמנות ובמחשבה האנושית מראשית ההיסטוריה. בשפה מתמטית, ריצוף של המישור עם אריח $ A \subset \mathbb{R}^2 $ הוא אוסף של עותקים של האריח, שביחד מכסים את כל המישור ואין ביניהם חפיפות, עד-כדי קבוצות ממידה 0. העותקים יכולים להיות הזזות, סיבובים, או שיקופים. מדברים גם על ריצוף באמצעות קבוצה … להמשך קריאה
השבוע התפרסם מאמר פורץ דרך בקומבינטוריקה, שמוכיח שאם קבוצה $A \subset \mathbb{N}$ היא "גדולה" במובן שהטור $\sum_{n \in A} \frac{1}{n}$ מתבדר, אז ב-$A$ יש אינסוף סדרות חשבוניות באורך 3. זה ממשיך את המחקר שהתחיל בהשערה של ארדש וטוראן, שהוכחה ע"י סמרדי: קבוצה של מספרים טבעיים עם צפיפות חיובית בטבעיים מכילה סדרות חשבוניות בכל אורך. ההשערה … להמשך קריאה
אחרי הפוסט הקודם, ובעקבות הערות הקוראים, הסתכלתי איפה הנושא התחיל ואיך. ונראה שהשאלה של קצב גידול של חבורות עלתה בעקבות פופולריזציה די אגרסיבית של מילנור בסביבות שנת 1968, בה הוא ומתמטיקאים שעובדים איתו פרסמו את השאלה בכמה ז'ורנלים שונים ופרסמו הוכחות חלקיות למשפט שבו פתחנו בפוסט הקודם. מלכתחילה נראה שאת חלק מהאנשים שבתה עצם היכולת … להמשך קריאה
שמעתי על תורת החבורות הגאומטרית בסמינר של יהודה שלום, בו הוכחנו משפט שכבר במבט ראשון נראה יפהפה, אפילו בלי להכיר את התחום מסביב. ואני עדיין לא מכיר בו כלום מעבר למה שהיה באותו סמינר. בקצרה, המשפט אומר חבורה נוצרת סופית היא עם קצב גידול פולינומאלי אם ורק אם יש לה תת-חבורה נילפוטנטית מאינדקס סופי התכנית … להמשך קריאה